Intelligenza artificiale e matematica

 Ho giocato un po' con l'AI. 

Ho chiesto a ChatGPT di fornirmi un problema matematico "difficile e l'ho proposto a Gemini. 

Poi ho chiesto ChatGPT di valutare la risposta di Gemini e a quest'ultimo di prendere atto del feedback di ChatGPT.

Ve lo racconto perché è interessante, anche per i non matematici. 

Divertente quel commento di ChatGPT rispetto Gemini: "si è un po' perso" :-)  

Ho chiesto a ChatGPT:

Dammi un problema matematico difficile da sottoporre a Gemini

Mi ha risposto:

Ho tralasciato di dare a Gemini il suggerimento ma non riuscivo a scrivere nel PROMPT la formula, quindi ho chiesto a ChatGPT una sua espressione a parole:

Quindi ho chiesto a Gemini:

La risposta di Gemini:

(NOTA mia: Se non siete un appassionato di matematica leggete solo la risposta e non la spiegazione analitica di cui vi suggerisco di guardare solo la riga in rosso.)

Risposta: L'unico intero positivo n per cui n2 divide 2n+1 è n=1.

Analisi del problema
Dobbiamo trovare tutti gli interi positivi n tali che n2 divide 2n+1.

Caso n = 1: Se n=1, n2=12=1. Poiché 1 divide ogni numero intero, 1 divide 21+1=3. Quindi, n=1è una soluzione.

Caso n > 1: Supponiamo che n>1 e che n2 divida 2n+1.
Questo implica che n deve essere dispari, poiché se n fosse pari, n2 sarebbe un multiplo di 4. La parità di n sarebbe n=2k per qualche intero k. Allora n2=(2k)2=4k2. Ma 2n+1=22k+1 è un numero dispari e non può essere divisibile per 4k2. Quindi n deve essere dispari.
Sia p il più piccolo fattore primo di n. Poiché n è dispari, anche p è dispari.
Dato che n2∣2n+1, allora p∣n2, il che implica che p∣n. E poiché n∣n2, abbiamo che p∣n.
Dato che n∣2n+1, anche p∣2n+1.
Questo significa che 2n≡−1(modp), e di conseguenza 22n≡(−1)2≡1(modp).
Sia d l'ordine moltiplicativo di 2 modulo p. Per il piccolo teorema di Fermat, 2p−1≡1(modp).
Poiché 22n≡1(modp), l'ordine d deve dividere 2n.
Poiché 2n≡−1(modp), l'ordine d non può dividere n.
Quindi, il massimo esponente di 2 che divide 2n è maggiore di quello che divide n. Questo significa che d è un multiplo di 2, cioè d=2k per qualche intero k.
Poiché d divide 2n ma non n, il fattore 2 di d ha esponente maggiore rispetto a n. L'esponente di 2 nella scomposizione di d deve essere esattamente uno in più dell'esponente di 2 nella scomposizione di n.
Inoltre, per il piccolo teorema di Fermat, l'ordine d deve dividere p−1.
Poiché d∣p−1, e p−1 è un numero pari, d è pari.
Quindi d divide p−1. Perciò, d≤p−1.
Ma d divide 2n e d non divide n.
Sia v2(x) l'esponente del fattore 2 nella scomposizione in primi di un intero x.
Abbiamo v2(d)=v2(2n)=v2(2)+v2(n)=1+v2(n). Poiché n è dispari, v2(n)=0. Quindi v2(d)=1.
Di conseguenza, d è un numero pari che divide p−1.
Sappiamo che p è il più piccolo fattore primo di n.
Ogni fattore primo di d deve essere anche un fattore primo di 2n. Poiché d divide p−1, tutti i fattori primi di d sono più piccoli di p.
Se d>2, allora d deve avere un fattore primo q. Questo q deve essere minore di p.
q∣d, e d∣2n. Quindi q∣2n. Poiché n è dispari, q non può essere 2. Quindi q∣n.
Ma q è un fattore primo di n, e q<p. Questo contraddice la nostra assunzione che p fosse il più piccolo fattore primo di n.
L'unico modo per evitare questa contraddizione è se d non ha fattori primi diversi da 2. L'unico numero di questa forma è una potenza di 2. Ma abbiamo già stabilito che v2(d)=1, quindi d=2.
Se d=2, allora 22≡1(modp), che è vero per ogni p. Ma 21≡−1(modp).
2≡−1(modp) implica che p∣3. Poiché p è primo, l'unica possibilità è p=3.
Questo significa che il più piccolo fattore primo di n deve essere 3. Quindi n è un multiplo di 3.
Per l'ipotesi iniziale, n2∣2n+1. Quindi 32∣2n+1, cioè 9∣2n+1.
Per il teorema di Eulero, l'ordine di 2 modulo 9 è ϕ(9)=9(1−1/3)=6.
Dobbiamo avere 2n≡−1(mod9).
21≡2(mod9).
22≡4(mod9).
23≡8≡−1(mod9).
24≡16≡7(mod9).
25≡14≡5(mod9).
26≡10≡1(mod9).
La congruenza 2n≡−1(mod9) è vera se e solo se n è un multiplo dispari di 3. Dobbiamo quindi avere n=3(2k+1) per qualche intero k≥0.
Sia n=3m dove m è dispari. Abbiamo n≥3.
Poiché n è dispari, n2=(3m)2=9m2 e 2n+1=23m+1=(23)m+1=8m+1.
Dobbiamo avere 9m2∣8m+1.
Poiché m è dispari, 8m+1=(8+1)(8m−1−8m−2+…+1)=9(…). Quindi 9 divide 8m+1.
Dato che n=3m, con m≥1 e m dispari, n non può essere 1,2,4,5,…. n potrebbe essere 3,9,15,….
Se n=3, n2=9. 23+1=9. 9∣9. Quindi n=3 è una soluzione.
Ma la nostra analisi precedente ha mostrato che se n>1, p=3. Poi abbiamo trovato che n=3m con m dispari. Se n=3, m=1.
Ripartiamo dal punto d=2. Se d=2, 22n≡1(modp) e 2n≡−1(modp). Da ciò p∣(2n+1) e p∣(2n−1) non è vero.
Sia p=3 il più piccolo fattore primo di n. Dobbiamo avere 9∣2n+1. Questo è vero solo se n è un multiplo dispari di 3, cioè n=3k con k dispari.
Se n=3k, n2=9k2. Dobbiamo avere 9k2∣23k+1.
Sia k>1 e k dispari. Poiché k è dispari, il suo più piccolo fattore primo è q. q è dispari. q∣k. Allora q∣n.
q deve essere maggiore o uguale a p=3. Dato che k è dispari, q non può essere 2.
L'unico modo per avere q>3 è se k ha fattori primi maggiori di 3.
Consideriamo n=9. n2=81. 29+1=512+1=513. 5+1+3=9, quindi 513 è divisibile per 9, 513=9×57=9×3×19=27×19.
Dobbiamo verificare se 81 divide 513. 513/81=6.33… Non è un intero. Quindi n=9 non è una soluzione.

 

Rivediamo il ragionamento:
Se n è una soluzione, n2∣2n+1.
Se n=1, 1∣3, quindi n=1 è una soluzione.
Se n>1, n deve essere dispari.
Sia p il più piccolo fattore primo di n.
p∣n e n∣2n+1⟹p∣2n+1.
2n≡−1(modp)⟹22n≡1(modp).
Sia d l'ordine di 2 modulo p. d∣2n e d∤n.
d∣p−1 (Piccolo Teorema di Fermat).
v2(d)=v2(2n)=v2(2)+v2(n)=1+0=1. Quindi d è pari.
d divide p−1. Se d>2, d ha un fattore primo q dispari. q∣d, d∣p−1, quindi q∣p−1. Questo implica q<p.
Poiché d∣2n e q∣d, q∣2n. Dato che q è dispari, q∣n.
Ma q<p e q∣n. Questo contraddice la definizione di p come il più piccolo fattore primo di n.
L'unico modo per evitare questa contraddizione è se d non ha fattori primi dispari. L'unica opzione è che d sia una potenza di 2. Poiché v2(d)=1, d=2.
d=2⟹22≡1(modp) e 21≡−1(modp). Questo implica p∣2−(−1)⟹p∣3.
Quindi p=3.
Il più piccolo fattore primo di n deve essere 3.
Se n=3, n2=9 e 23+1=9. 9∣9. Quindi n=3 è una soluzione.
Supponiamo che esista un'altra soluzione n>1 tale che il suo più piccolo fattore primo sia 3. Quindi n è un multiplo di 3.
Sia n=3k⋅m dove gcd(m,3)=1 e k≥1.
n=3: n2=9, 23+1=9. Ok.
Sia n una soluzione con n>3. Allora n deve essere un multiplo di 3. n=3k con k>1.
n2=9k2. Dobbiamo avere 9k2∣23k+1.
L'ordine di 2 modulo 9 è 6. La congruenza 23k≡−1(mod9) è vera se e solo se 3k è un multiplo dispari di 3.
3k=3(2j+1)⟹k=2j+1. Quindi k deve essere dispari.
Dobbiamo verificare v3(n2)≤v3(2n+1).
v3(n2)=v3((3k)2)=2v3(3k)=2(v3(3)+v3(k))=2(1+v3(k)).
v3(2n+1). Sappiamo che n è un multiplo dispari di 3. Sia n=3ab con gcd(b,3)=1 e a≥1.
Per il Teorema di sollevamento dell'esponente (LTE - Lifting The Exponent Lemma):
Sia p un primo, p=2. Siano x,y interi tali che p∣x+y ma p∤x,p∤y. Sia n un intero positivo dispari. Allora vp(xn+yn)=vp(x+y)+vp(n).
Qui, x=2,y=1. p=3. 3∣2+1=3. 3∤2 e 3∤1.
n=3ab. n è dispari perché b è dispari.
v3(2n+1)=v3(2+1)+v3(n)=v3(3)+v3(3ab)=1+a.
Dobbiamo avere n2∣2n+1. Ciò implica v3(n2)≤v3(2n+1).
v3(n2)=v3((3ab)2)=v3(32ab2)=2a.
Quindi, 2a≤1+a.
Questo implica a≤1.
Ricordiamo che n=3ab. Se a=1, n=3b con gcd(b,3)=1.
Abbiamo n2=(3b)2=9b2.
v3(n2)=2(1)=2. v3(2n+1)=1+1=2. v3(n2)=v3(2n+1).
Quindi la massima potenza di 3 che divide n2 è la stessa che divide 2n+1.
n2=9b2.
2n+1=23b+1=(23)b+1=8b+1.
v3(23b+1)=v3(8b+1)=v3(8+1)+v3(b)=v3(9)+v3(b)=2+v3(b).
Ma n=3b e gcd(b,3)=1, quindi v3(b)=0.
v3(2n+1)=2+0=2.
Questo significa che 9b2∣23b+1 è equivalente a b2∣923b+1.
n è un multiplo di 3, quindi b deve essere un intero positivo. Se n>1, b≥1.
Se b=1, n=3. Abbiamo visto che n=3 è una soluzione.
Se b>1, b deve essere dispari.
Se b ha un fattore primo q>3, allora q∣b, e q è un fattore primo di n. q∣b2.
b2∣923b+1⟹q∣923b+1.
9q∣23b+1.
q∣23b+1.
23b≡−1(modq).
26b≡1(modq).
L'ordine di 2 mod q, diciamo d′, deve dividere 6b. d′ non divide 3b.
d′ divide q−1. Quindi d′≤q−1.
d′=v2(6b)×fattori primi dispari di d′. v2(6b)=1+v2(3b)=1+0=1.
I fattori primi dispari di d′ devono essere minori di q.
Tutti i fattori primi di d′ devono dividere 6b.
Se d′>2, ha un fattore primo dispari r. r∣d′ e d′∣q−1.
r∣q−1⟹r<q.
r∣d′ e d′∣6b⟹r∣6b.
Poiché b è dispari, b non è divisibile per 2 o 3. Quindi gcd(b,6)=1.
r non può essere 2 o 3. r deve essere un fattore primo di b.
Abbiamo trovato un fattore primo di b, che è r<q, dove q è il più piccolo fattore primo di b.
Questo è una contraddizione. L'unica via di fuga è d′=2.
23b≡−1(modq)⟹26b≡1(modq).
d′∣6b,d′∤3b⟹v2(d′)=v2(6b)=1+v2(b)+v2(3)=1+0+0=1.
Se d′=2, 21≡−1(modq)⟹q∣3. Quindi q=3.
Ma abbiamo supposto che q fosse un fattore primo di b e che gcd(b,3)=1.
L'unica possibilità è che b non abbia fattori primi. Quindi b=1.
Se b=1, n=3.
Abbiamo verificato che n=1 e n=3 sono soluzioni.
Ma dobbiamo rileggere la contraddizione. Se b>1, ha un più piccolo fattore primo q.
La nostra analisi mostra che q=3, che è una contraddizione, poiché gcd(b,3)=1.
Quindi b non può avere fattori primi, il che significa b=1.
E quindi n=3.
La dimostrazione per induzione:
n=1: soluzione.
n=3: soluzione.
Se n è una soluzione, allora n è dispari e il suo più piccolo fattore primo è 3. n=3km con gcd(m,3)=1.
Abbiamo dimostrato che se m>1, allora m deve avere un fattore primo che non può esistere.
Quindi m=1.
Se n=3k, con k≥1.
Se k=1,n=3, soluzione.
Se k>1,n=3k. n2=(3k)2=32k.
2n+1=23k+1.
v3(n2)=2k.
v3(23k+1)=v3(2+1)+v3(3k)=1+k.
Dobbiamo avere v3(n2)≤v3(2n+1), ovvero 2k≤1+k, che implica k≤1.
Poiché k è un intero positivo, l'unica possibilità è k=1.
Questo significa che l'unica soluzione nella forma n=3k è n=3.
In sintesi, l'unico intero positivo n per cui n2 divide 2n+1 è n=1. Abbiamo mostrato che n=1 funziona. Abbiamo poi dimostrato che se n>1, n deve essere un multiplo dispari di 3. Utilizzando il teorema di sollevamento dell'esponente, abbiamo dimostrato che l'unica soluzione nella forma n=3k è n=3. Infine, abbiamo dimostrato che se n avesse un altro fattore primo oltre al 3, si arriverebbe a una contraddizione. Quindi non ci sono altre soluzioni oltre a n=1.

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Conclusione
L'unico intero positivo n per cui n2 divide 2n+1 è n=1.
 

Ho dato la soluzione di Gemini a ChatGPT chiedendo di controllarla.

Mi ha risposto:

(Nota mia: Potete, se non siete matematici appassionati leggere solo quanto ho evidenziato in rosso. I simboli $ indicano il corsivo e gli asterischi il grassetto):

No: la risposta di Gemini è **sbagliata**.
Oltre a $n=1$, c’è anche **$n=3$**, perché $2^3+1=9$ ed effettivamente $3^2=9$ divide $9$.
Ecco una verifica rapida e rigorosa (sketch):
1. **$n$ è dispari.** Se $n$ fosse pari, $n^2$ sarebbe multiplo di 4 mentre $2^n+1$ è dispari ⇒ impossibile.
2. Sia $p$ il più piccolo primo che divide $n$. Da $n^2\mid 2^n+1$ segue $p\mid 2^n+1$, quindi $2^n\equiv -1\pmod p$.
   L’ordine di $2$ mod $p$, diciamo $d$, divide $2n$ ma **non** $n$, dunque è pari. Inoltre $d\mid p-1$.
   Se $d>2$, allora ha un primo dispari $q\mid d$ con $q<p$; ma da $q\mid d\mid 2n$ (e $n$ dispari) seguirebbe $q\mid n$, contraddicendo la minimalità di $p$. Quindi **$d=2$** e allora $2^2\equiv1\pmod p$ con $2^1\equiv-1\pmod p$ ⇒ $p\mid 3$ ⇒ **$p=3$**. Dunque $3\mid n$.
3. Scrivi $n=3^a b$ con $\gcd(b,3)=1$ e $a\ge1$. Per LTE (caso $p=3$, $n$ dispari):
$$
v_3(2^n+1)=v_3(2+1)+v_3(n)=1+a.
$$
Ma $v_3(n^2)=2a$. La condizione $n^2\mid 2^n+1$ impone $2a\le 1+a$ ⇒ **$a\le1$**. Quindi $a=1$ e $n=3b$ con $\gcd(b,3)=1$.
4. Ora prendi un primo $q\mid b$. Allora $q\mid n$ e dalla divisibilità $q\mid 2^n+1$ ottieni di nuovo che l’ordine di $2$ mod $q$ è pari e divide $2n$ ma non $n$. Ripetendo l’argomento del punto 2 con il **più piccolo** primo divisore di $b$, si arriva alla stessa conclusione $q=3$, in contraddizione con $\gcd(b,3)=1$. Quindi **$b=1$**.
Conclusione: le uniche soluzioni sono **$n=1$** e **$n=3$**. Gemini ha omesso $n=3$ nella conclusione (pur avendolo riconosciuto a metà della sua analisi), quindi il suo esito finale non è corretto.

 

Ho chiesto a ChatGPT:

 Ecco la risposta di Chat GPT 

Ottima domanda 🙂
Direi che Gemini ha sbagliato non per mancanza di tecnica, ma perché ha “perso” un caso già trovato.
Infatti:
Nel corpo della soluzione riconosce n=3 come soluzione.
Poi però, quando ricapitola e conclude, riduce tutto a n=1, dimenticandosi di includere 3.
Quindi l’errore è più di gestione logica e di sintesi che di matematica pura. È un classico “errore da Olimpiadi”: arrivi vicino al traguardo, ma ricapitolando butti via un caso valido.

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Perché è successo?
Ha cercato di fare una lunga dimostrazione “unificata”, con tanti rami di caso, ma si è un po’ perso.
Non ha mantenuto una lista esplicita delle soluzioni verificate.
Alla fine ha cercato di generalizzare troppo, concludendo che resta solo n=1, dimenticandosi che n=3soddisfa tutte le condizioni.

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Suggerimenti per la prossima volta
Tenere traccia separata delle soluzioni trovate.
Ad esempio: "Ho verificato che n=1 funziona, n=3 funziona. Ora mostro che nessun altro funziona."
Così eviti di perderne per strada.
Ricontrollare la conclusione.
Prima di scrivere “quindi l’unica soluzione è…”, rileggi i casi iniziali e confrontali.
Fare un check numerico rapido.
Una prova con piccoli n (da 1 a 10) avrebbe confermato subito che n=3 è valido e avrebbe segnalato la contraddizione con la conclusione finale.
Scrivere la soluzione in due fasi:
Fase 1: trovo tutte le soluzioni candidate.
Fase 2: dimostro che non ce ne sono altre.
→ Questo separa bene il “positiva verifica” dal “negativa esclusione”.

 

 

A questo punto ho presentato la risposta di ChatGPT e i sui commenti a Gemini:

Questa la sua risposta:

Chiedo scusa per l'errore nella precedente risposta. Hai assolutamente ragione, e l'analisi di Gemini è stata molto perspicace. L'errore è stato puramente di sintesi e di omissione del caso valido n=3, che era stato correttamente identificato durante la dimostrazione.

La soluzione corretta include sia n=1 che n=3.

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Soluzione corretta

Dobbiamo trovare tutti gli interi positivi n tali che n2 divide 2n+1.

Caso n=1

Se n=1, n2=1. Poiché 1 divide ogni intero, 1 divide 21+1=3. Quindi n=1 è una soluzione.

Caso n>1

Supponiamo che n>1 e che n2∣2n+1.

1. n deve essere dispari: Se n fosse pari, n2 sarebbe divisibile per 4. Tuttavia, 2n+1 è dispari per n>0, quindi non può essere divisibile per 4. Pertanto, n deve essere dispari.

2. Il più piccolo fattore primo di n è 3: Sia p il più piccolo fattore primo di n. Poiché n2∣2n+1, anche p∣2n+1. Questo implica 2n≡−1(modp), quindi 22n≡1(modp). Sia d l'ordine moltiplicativo di 2 modulo p. Sappiamo che d∣2n ma d∤n. Inoltre, per il Piccolo Teorema di Fermat, d∣p−1. Dato che v2(2n)=v2(2)+v2(n)=1+0=1 (poiché n è dispari), allora d deve avere un solo fattore 2, cioè d=2k con k dispari. Se k>1, d ha un fattore primo dispari q. Poiché d∣p−1, allora q∣p−1, il che implica q<p. Ma q∣d e d∣2n⟹q∣2n. Poiché q è dispari, q∣n. Ma questo contraddice la definizione di p come il più piccolo fattore primo di n. L'unica possibilità è che d non abbia fattori primi dispari, quindi d=2. Da 21≡−1(modp), si ottiene p∣3, e poiché p è primo, p=3.

3. Verifica di n=3: Il più piccolo intero maggiore di 1 con fattore primo 3 è n=3. Per n=3, n2=9 e 23+1=9. Dato che 9∣9, n=3 è una soluzione.

4. Esclusione di altre soluzioni (n>3): Se n>3 è una soluzione, deve essere un multiplo di 3. Sia n=3a⋅b, dove gcd(b,3)=1 e a≥1. Perché n2∣2n+1, la potenza di 3 che divide n2 non può essere maggiore della potenza di 3 che divide 2n+1. Usiamo il Teorema di sollevamento dell'esponente (LTE): v3(n2)=v3((3ab)2)=v3(32ab2)=2a. v3(2n+1)=v3(23ab+1)=v3(2+1)+v3(3ab)=1+a. Affinché n2∣2n+1, deve valere v3(n2)≤v3(2n+1), quindi 2a≤1+a, che implica a≤1. Poiché a deve essere un intero positivo, l'unica possibilità è a=1.

   Questo riduce le soluzioni candidate a n=3b, dove gcd(b,3)=1. Se b>1, sia q il più piccolo fattore primo di b. Poiché gcd(b,3)=1, q≥5. Abbiamo n2=(3b)2=9b2 e 2n+1=23b+1. L'ipotesi n2∣2n+1 implica 9b2∣23b+1. 9b2∣23b+1⟹b2∣923b+1. Poiché b>1, b2>1, quindi esiste un fattore primo q di b. Questo implica q∣923b+1, che a sua volta implica 9q∣23b+1. Di conseguenza, q∣23b+1⟹23b≡−1(modq). L'ordine di 2 modulo q, d′, divide 6b ma non 3b. d′ divide anche q−1. Come nel punto 2, si arriva a una contraddizione: i fattori primi di d′ devono essere minori di q, ma d′ è costruito con i fattori primi di b. L'unica via di fuga è che b non abbia fattori primi, cioè b=1. Se b=1, n=3.

Questo dimostra che non esistono altre soluzioni oltre a n=1 e n=3.

 Non male 🙂🙂🙂

Anche un po' spaventoso 😱